Oleh: Dwi Purliantoro

Hari Rabu, 9 April 2024 merupakan Hari ulang tahun Aisyah yang ke-26. Dia terkejut karena ketika Aisyah on line di facebook, dia melihat dari 732 temannya di akun Facebook ternyata ada 6 orang yang berulang tahun juga. Sebenarnya ini bukan kejadian pertama kalinya bagi Aisyah. Sewaktu dia duduk di bangku SMP dan SMA dia selalu mendapatkan paling sedikit satu teman sekelasnya memiliki tanggal lahir yang sama dengan dirinya. Fenomena ini membuatnya penasaran, apakah kita bisa memastikan pada suatu kelas yang terdiri dari 40 orang pasti terdapat sedikitnya dua orang yang memiliki tanggal lahir yang sama ? Berapa peluangnya pada suatu anggota klub yang terdiri dari 80 orang terdapat paling sedikit dua orang yang tanggal lahir mereka sama ?

Masalah yang kita hadapi di atas merupakan Classical Birthday Problem. Masalah tersebut menghitung suatu peluang P yang terdiri dari n orang yang memiliki tanggal lahir yang berbeda. Masalah tersebut kita selesaikan dengan asumsi bahwa tanggal lahir seseorang dapat jatuh pada sembarang hari (1 tahun sama dengan 365 hari ) dengan peluang yang sama. Misalkan kita memilih 39 teman Aisyah secara acak, karena Aisyah termasuk maka terdapat 40 orang yang akan kita teliti. Pertama, kita tentukan peluang Aisyah berulang tahun pada tanggal 9 April? Tentu saja, peluangnya adalah 1 atau 100%. Jika 1 tahun ada 365 hari, maka kita dapat menuliskan sebagai berikut :

Kedua, kita tentukan peluang teman pertama Aisyah tidak berulang tahun pada tanggal 9 April, maka peluangnya adalah

Ketiga, kita tentukan peluang teman kedua Aisyah tidak berulang tahun pada tanggal 9 April dan tidak juga berulang tahun pada tanggal yang sama dengan teman pertama Aisyah. Maka peluangnya adalah

Keempat, kita tentukan peluang teman ketiga Aisyah tidak berulang tahun yang sama dengan Aisyah, teman pertama, dan teman kedua Aisyah. Maka, peluangnya adalah

Maka, dalam satu kelompok yang terdiri dari 40 orang, peluang (p) adanya dua orang  mempunyai tanggal lahir berbeda adalah hasil kali dari peluang-peluang di atas, atau dapat dituliskan sebagai berikut :

Karena bentuk

 merupakan bentuk permutasi 40 unsur dari

maka dapat diubah menjadi

Perlu diingat, di awal kita definiskan bahwa p adalah peluang adanya dua orang dalam kelompok yang mempunyai tanggal lahir berbeda. Sekarang kita akan definisikan komplemen dari p yaitu q. Peluang q adalah peluang adanya dua orang dalam kelompok yang mempunyai tanggal lahir yang sama. Karena p dan q saling komplemen (), maka kita nilai q adalah sebagi berikut

Dengan kata lain, peluang adanya kecocokan tanggal lahir dalam 40 orang yang dipilih secara acak adalah lebih besar  81%. Ini sungguh menakjubkan, kita mungkin tidak akan pernah menyangka bahwa peluangnya begitu besar. Selanjutkan kita akan mencoba untuk mengetahui peluang adanya kecocokan tanggal lahir dalam jumlah kelompok yang berbeda.

Lebih jelas lagi, perhatikan tabel nilai peluang tanggal lahir yang sama

Pada tabel terlihat, hal yang menarik. Pada satu kelompok orang yang terdiri 10 orang, peluang adanya kecocokan tanggal lahir hanya 11,69 %. Sedangkan jika banyak anggota kelompok tersebut lebih dari 60 orang, maka peluangnya adalah hampir pasti ada yang memiliki tanggal lahir yang sama  (99 %).

sumber gambar: https://www.tiktok.com/@kayapengangguran/video/7307599532596940037)